Вопрос школьника
В трапеции ABCD известно, что ВС || AD, точка М — середина стороны АВ. Найдите площадь треугольника CMD, если площадь данной трапеции равна S.
Ответ от учителя
Поскольку ВС || AD, то углы BCD и ACD равны, так как они соответственные. Также углы BCD и ABD дополнительны, так как они лежат на прямых, параллельных друг другу. Значит, угол ABD равен углу ACD, и треугольники ABD и BCD подобны.
Так как М — середина стороны АВ, то AM = MB. Значит, треугольники AMD и BMD равны, так как у них две стороны равны, а угол между ними тоже равен.
Таким образом, треугольники CMD и BCD подобны, так как у них два угла равны (они противоположные), а третий угол равен углу ABD, который равен углу ACD. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Пусть S1 — площадь треугольника CMD. Тогда соотношение площадей треугольников CMD и BCD можно записать как:
S1/S = MD/CD)^2
Так как М — середина стороны АВ, то MD = AB/2. Также из подобия треугольников ABD и BCD следует, что AB/CD = AD/BC. Значит, MD/CD = AB/2CD = AD/2BC.
Таким образом, мы получаем:
S1/S = (AD/2BC)^2
Но площадь трапеции ABCD равна S, то есть:
S = (AB+CD)*h/2 = (AD+BC)*h/2
где h — высота трапеции. Но так как ВС || AD, то высота трапеции равна высоте треугольника ABD, то есть h = BD*sin(ABD). Но из подобия треугольников ABD и BCD следует, что BD/BC = AD/AB. Значит, sin(ABD) = sin(BCD) = CD/BC.
Таким образом, мы получаем:
S = (AD+BC)*CD/2
и
S1/S = (AD/2BC)^2 = (AD/2(2S/(AD+BC)))^2 = AD^2/(4S*(AD+BC))
Таким образом, площадь треугольника CMD равна:
S1 = S*AD^2/(4S*(AD+BC)) = AD^2/(4*(AD+BC))
Ответ: S1 = AD^2/(4*(AD+BC))
