Вопрос школьника
В трапеции ABCD основание AD равно 5, AB = 3, BD = 4, отрезок CM — перпендикуляр к прямой BD. Найдите синус угла BCM.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства трапеции.
Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника BCM с гипотенузой BC и катетом CM получаем:
$BC^2 = BM^2 + CM^2$
Заметим, что треугольник BMD является прямоугольным, так как угол BMD прямой (так как BD — диагональ трапеции). Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем:
$BD^2 = BM^2 + MD^2$
Выразим $BM^2$ из этих двух уравнений:
$BM^2 = BD^2 — MD^2$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$BC^2 = BD^2 — MD^2 + CM^2$
Заметим, что треугольник ABD является прямоугольным, так как угол ABD прямой (так как AD — диагональ трапеции). Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем:
$AD^2 = AB^2 + BD^2$
Выразим $BD^2$ из этого уравнения:
$BD^2 = AD^2 — AB^2$
Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
$BC^2 = AD^2 — AB^2 — MD^2 + CM^2$
Заметим, что треугольник AMD является прямоугольным, так как угол AMD прямой (так как AD — диагональ трапеции). Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем:
$AD^2 = AM^2 + MD^2$
Выразим $MD^2$ из этого уравнения:
$MD^2 = AD^2 — AM^2$
Подставим это выражение в предыдущее уравнение:
$BC^2 = AD^2 — AB^2 — (AD^2 — AM^2) + CM^2$
$BC^2 = AM^2 + CM^2 — AB^2$
Заметим, что треугольник AMC является прямоугольным, так как угол AMC прямой (так как CM — перпендикуляр к BD). Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем:
$AM^2 = AC^2 — CM^2$
Выразим $AM^2$ из этого уравнения и подставим в предыдущее уравнение:
$BC^2 = AC^2 — CM^2 + CM^2 — AB^2$
$BC^2 = AC^2 — AB^2$
Отсюда получаем:
$AC = sqrt{BC^2 + AB^2} = sqrt{5^2 + 3^2} = sqrt{34}$
Теперь можем найти синус угла BCM:
$sin angle BCM = frac{CM}{BC} = frac{AC cdot sin angle MAC}{BC} = frac{sqrt{34} cdot frac{4}{5}}{5} = frac{4sqrt{34}}{25}$
Ответ: $sin angle BCM = frac{4sqrt{34}}{25}$.
