Вопрос школьника
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 2. Найдите площадь трапеции
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длины всех сторон трапеции и вычислить её площадь по формуле.
Пусть основание BC равно x. Тогда основание AD равно 2x, а боковая сторона CD равна x/2. Также из условия задачи известно, что угол ADC равен 60°.
Рассмотрим треугольник ADC. Из него можно найти длину стороны AC по теореме косинусов:
AC² = AD² + CD² — 2AD·CD·cos(ADC)
AC² = (2x)² + (x/2)² — 2·2x·x/2·cos(60°)
AC² = 4x² + x²/4 — 2x²
AC² = 5x²/4
AC = √(5/4)x
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из него можно найти высоту h, опущенную на основание BC:
h² = AB² — (AC — BC/2)²
h² = 2² — ((√(5/4)x — x/2)²
h² = 4 — (5/4)x² — x²/4 + x√5/2 — x√5/2 + x²/4
h² = 4 — (3/4)x² + x²/4
h² = (16 — 3x²)/4
h = √(16 — 3x²)/2
Теперь мы знаем длины всех сторон трапеции:
AB = 2
BC = x
CD = x/2
AD = 2x
AC = √(5/4)x
h = √(16 — 3x²)/2
Площадь трапеции можно вычислить по формуле:
S = (AD + BC)·h/2
S = (2x + x)·√(16 — 3x²)/4
S = (3x/2)·√(16 — 3x²)
Теперь осталось найти значение x, подставить его в формулу для площади и вычислить ответ. Для этого воспользуемся тем, что угол ADC равен 60°:
tg(60°) = CD/AD
√3 = x/4x
x = 4√3
Теперь можем вычислить площадь трапеции:
S = (3x/2)·√(16 — 3x²)
S = (3·4√3/2)·√(16 — 3·(4√3)²)
S = 6√3·√(16 — 48)
S = 6√3·√(-32)
S = 6√3·4i√2
S = 24i√6
Ответ: площадь трапеции равна 24i√6.
