Вопрос школьника
В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 6. Найдите площадь трапеции
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти длины всех сторон трапеции и вычислить её площадь по формуле.
Из условия задачи мы знаем, что основание AD вдвое больше основания ВС, то есть AD = 2BC. Также основание AD вдвое больше боковой стороны CD, то есть AD = 2CD. Объединяя эти два уравнения, получаем:
2BC = 2CD
BC = CD
Таким образом, трапеция ABCD является равнобедренной.
Угол ADC равен 60°, а значит, угол BCD также равен 60° (так как они дополнительны). Таким образом, треугольник BCD является равносторонним.
Из равносторонности треугольника BCD следует, что CD = BC = AB/2 = 3. Также из условия задачи мы знаем, что AB = 6.
Теперь мы можем найти длины всех сторон трапеции:
AD = 2CD = 6
BC = CD = 3
AB = 6
DC = AD — AB = 6 — 6/2 = 3
Теперь можем вычислить площадь трапеции по формуле:
S = (AB + DC) * h / 2
где h — высота трапеции.
Высота трапеции опущена на основание AD и является биссектрисой угла ADC. Так как угол ADC равен 60°, то угол ADB (где D — точка пересечения биссектрисы и основания AD) равен 30°. Таким образом, треугольник ADB является прямоугольным, и мы можем найти высоту трапеции по теореме синусов:
h / sin(60°) = AB / sin(30°)
h = AB * sin(60°) / sin(30°) = 6 * √3 / 2 = 3√3
Теперь можем вычислить площадь трапеции:
S = (AB + DC) * h / 2 = (6 + 3) * 3√3 / 2 = 27√3 / 2
Ответ: площадь трапеции ABCD равна 27√3 / 2.
