Вопрос школьника
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, так как сумма углов при основании AD равна 90°. Пусть точка O — центр искомой окружности, а точка E — точка касания окружности с прямой CD. Тогда OE — радиус окружности, AB = 10 — диаметр окружности, а BD = AD — AB = 34 — 10 = 24.
Так как точка E лежит на прямой CD, то угол AEB равен углу ADB. Также угол AEB равен половине угла AOB, так как точка E является точкой касания окружности.
Из прямоугольного треугольника ABD находим sin(ADB) = BD/AB = 24/10 = 12/5. Также из треугольника AOB находим sin(AOB) = AB/2OE = 5/OE.
Из равенства sin(AEB) = sin(ADB) и того факта, что угол AEB равен половине угла AOB, получаем sin(AOB) = 2sin(ADB) = 2*12/5 = 24/5.
Теперь можем найти радиус окружности: sin(AOB) = 5/OE => OE = 5/sin(AOB) = 5/(24/5) = 25/24.
Ответ: радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, равен 25/24.
