Вопрос школьника
В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 48 и 3, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=3
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, так как сумма углов при основании AD равна 90°. Пусть точка O — центр искомой окружности. Тогда, так как AB — диаметр окружности, то AO = BO = AB/2 = 3/2.
Также заметим, что точка O лежит на биссектрисе угла ABD, так как она равноудалена от точек A и B. Обозначим точку пересечения биссектрисы с прямой CD как E. Тогда OE — медиана треугольника ABD, а значит, делит ее пополам.
Пусть OD = x. Тогда OC = 48 — x. По теореме Пифагора в треугольнике ABD:
AB^2 = AD^2 + BD^2
3^2 = 48^2 + x^2
x^2 = 48^2 — 3^2 = 2301
x = √2301
Также по теореме Пифагора в треугольнике OCD:
OE^2 = OD*OC
OE^2 = x(48 — x)
OE = √(x(48 — x))
Так как OE — медиана, то OE = DE = DC/2 = 48/2 = 24.
Теперь применим теорему о касательной:
OE^2 = (R — OB)*(R — OA)
(R — 3/2)^2 = x(48 — x)
(R — 3/2)^2 = 2301
R — 3/2 = ±√2301
R = 3/2 ± √2301
Так как радиус не может быть отрицательным, то R = 3/2 + √2301.
Ответ: радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, равен 3/2 + √2301.
