Вопрос школьника
В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CD, угол BAC = угол СAD. Найдите AD, если периметр трапеции равен 20 см, a угол D = 60°.
Ответ от учителя
Пусть точка E — середина боковой стороны CD. Тогда AE является медианой трапеции ABCD и перпендикулярна к основанию CD. Также, из условия угол BAC = угол СAD следует, что треугольник ACD является равнобедренным, а значит, угол ADC = угол ACD = 60°.
Таким образом, мы получаем правильный треугольник ADE, в котором угол ADE = 90°, угол DAE = 30° и угол EAD = 60°. Также, из условия периметра трапеции мы можем записать:
AD + AB + BC + CD = 20
Но так как AB = CD (так как AD || BC), то мы можем записать:
AD + 2AB + BC = 20
Теперь мы можем выразить AB и BC через AD, используя теорему косинусов для треугольника ACD:
AC^2 = AD^2 + CD^2 — 2AD*CD*cos(60°)
AC^2 = AD^2 + AB^2 — 2AD*AB*cos(60°)
AB = (AC^2 — AD^2 + AD*CD)/2AD
BC = AB
Таким образом, мы можем записать:
AD + 2AB + BC = 20
AD + 4AB = 20
AD + 2(AC^2 — AD^2 + AD*CD)/2AD = 20
AD^2 — AD*CD + AC^2 = 10
AD^2 — AD*(AD/2) + AC^2 = 10
AD^2 + AC^2/4 = 10
Но мы знаем, что AC = 2AE = CD, так как треугольник ACD равнобедренный. Поэтому мы можем записать:
AD^2 + CD^2/4 = 10
AD^2 + AD^2/4 = 10
5AD^2/4 = 10
AD^2 = 8
AD = 2√2
Таким образом, мы нашли, что AD = 2√2 см.
