Вопрос школьника
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали пересекаются в точке O, причем AO = 3ОС. Площадь треугольника AOD равна 36. Найдите площадь трапеции
Ответ от учителя
Из условия задачи известно, что AO = 3OC. Пусть OD = x, тогда AD = 3x и OC = BC — OD = BC — x. Так как диагонали пересекаются в точке O, то AO = BO, следовательно, AB = AO + OB = 2AO = 6OC = 2BC — 2OD.
Рассмотрим треугольник AOD. Его площадь равна 36, а высота, опущенная на сторону AD, равна OC. Тогда:
36 = (AD * OD) / 2
36 = (3x * x) / 2
x^2 = 24
Теперь найдем площадь трапеции ABCD. Для этого нужно найти ее высоту. Рассмотрим треугольник AOB. Его площадь равна:
S(AOB) = (AB * OC) / 2
S(AOB) = [(2BC — 2OD) * (BC — x)] / 2
S(AOB) = [(2BC^2 — 2BCx — 2OD*BC + 2OD*x)] / 2
S(AOB) = BC^2 — BCx — OD*BC + OD*x
Заметим, что треугольники AOB и COD подобны, так как у них соответственные углы равны (угол AOB равен углу COD, так как они смежные, а угол OAB равен углу OCD, так как они вертикальные). Тогда:
AB / CO = AO / OD
(2BC — 2OD) / (BC — x) = 3OC / OD
2BC — 2OD = 3OC * (BC — x) / OD
2BC — 2OD = 3(BC — x) * OC / OD
2BC — 2OD = 3(BC — x) * (BC — x — OD) / OD
2BC — 2OD = 3(BC — x) * (BC — x — x) / x
2BC — 2OD = 3(BC — x) * (BC — 2x) / x
2BC — 2OD = 3BC^2 / x — 8BCx / x + 6x^2 / x
2BC — 2OD = 3BC^2 / x — 8BC + 6x
Теперь найдем высоту трапеции. Высота равна разности высот треугольников AOB и COD:
h = OC — OD
h = BC — x — x
h = BC — 2x
Тогда площадь трапеции равна:
S(ABCD) = (BC + AD) * h / 2
S(ABCD) = (BC + 3x) * (BC — 2x) / 2
S(ABCD) = (BC^2 — 2x^2) / 2
S(ABCD) = (BC^2 — 48) / 2
Таким образом, площадь трапеции равна (BC^2 — 48) / 2. Осталось найти значение BC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике BOC:
BC^2 = BO^2 + OC^2
BC^2 = AO^2 + OC^2
BC^2 = (3OC)^2 + OC^2
BC^2 = 10OC^2
BC^2 = 10(BC — x)^2
BC^2 = 10BC^2 — 20BCx + 10x^2
9BC^2 = 20BCx — 10x^2
BC = (20x — 3sqrt(24)) / 9
Подставляем найденное значение BC в формулу для площади трапеции:
S(ABCD) = ((20x — 3sqrt(24)) / 9)^2 — 48 / 2
S(ABCD) = (400x^2 — 120sqrt(24)x + 27*24 — 432) / 162
S(ABCD) = (200x^2 — 60sqrt(24)x — 72) / 81
Осталось найти значение x:
x^2 = 24
x = 2sqrt(6)
Подставляем найденное значение x в формулу для площади трапеции:
S(ABCD) = (200 * 24 — 60sqrt(24) * 2sqrt(6) — 72) / 81
S(ABCD) = (4800 — 720sqrt(6) — 72) / 81
S(ABCD) = (4728 — 720sqrt(6)) / 81
Ответ: площадь трапеции ABCD равна (4728 — 720sqrt(6)) / 81.
