Вопрос школьника
В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD градусная мера угла BAD равна 30°. Вычислите площадь трапеции, если АВ = ВС = 8 см и AD : ВС = 3 : 1.
Ответ от учителя
Пусть точка E — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Так как угол BAD равен 30°, то угол ABD равен 60° (так как сумма углов треугольника равна 180°). Также угол AED равен 60° (так как диагонали трапеции равны и пересекаются на равных углах). Значит, треугольник ABD равносторонний, и его сторона AB равна 8 см.
Так как AD : ВС = 3 : 1, то AD = 3 ВС = 3 × 8 см = 24 см. Также, BC = AB = 8 см (так как треугольник ABD равносторонний). Значит, площадь трапеции ABCD равна:
S = (AB + BC) × h / 2,
где h — высота трапеции, опущенная на основание BC.
Так как треугольник ABD равносторонний, то высота трапеции равна высоте этого треугольника, то есть:
h = AB × √3 / 2 = 8 × √3 / 2 см.
Таким образом, площадь трапеции ABCD равна:
S = (8 + 8) × 8 × √3 / 2 / 2 = 16 × 4 × √3 / 4 = 16 × √3 см².
Ответ: площадь трапеции ABCD равна 16 × √3 см².
