Вопрос школьника
В трапеции ABCD точки K и M — середины боковых сторон AB и CD соответственно (рис. 232). Докажите, что площадь синего четырех угольника равна сумме площадей красных треугольников.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой площади треугольника:
S = 1/2 * a * h,
где S — площадь треугольника, a — длина основания, h — высота, опущенная на это основание.
Рассмотрим красный треугольник AKD. Его площадь равна:
S1 = 1/2 * AD * h1,
где h1 — высота, опущенная на сторону AD.
Заметим, что точки K и M являются серединами боковых сторон AB и CD соответственно. Тогда стороны AK и DM равны по длине, так как они являются половинами сторон AB и CD.
Таким образом, мы можем записать:
AD = AK + KD = DM + KD.
Подставляя это выражение в формулу для площади треугольника AKD, получаем:
S1 = 1/2 * (AK + KD) * h1 = 1/2 * AK * h1 + 1/2 * KD * h1.
Аналогично рассмотрим красный треугольник BCM. Его площадь равна:
S2 = 1/2 * BC * h2,
где h2 — высота, опущенная на сторону BC.
Заметим, что стороны BK и MC также равны по длине, так как они являются половинами сторон AB и CD.
Тогда мы можем записать:
BC = BK + KC = MC + KC.
Подставляя это выражение в формулу для площади треугольника BCM, получаем:
S2 = 1/2 * (BK + KC) * h2 = 1/2 * BK * h2 + 1/2 * KC * h2.
Теперь рассмотрим синий четырехугольник AKMC. Его площадь равна:
S3 = 1/2 * (AK + KC) * h3,
где h3 — высота, опущенная на сторону AK.
Заметим, что стороны KD и BM также равны по длине, так как они являются половинами боковых сторон AB и CD.
Тогда мы можем записать:
AK = KD + BK = BM + KC.
Подставляя это выражение в формулу для площади четырехугольника AKMC, получаем:
S3 = 1/2 * (KD + BK + KC + BM) * h3 = 1/2 * (KD * h3 + BK * h3 + KC * h3 + BM * h3).
Теперь сравним сумму площадей красных треугольников (S1 + S2) и площадь синего четырехугольника S3:
S1 + S2 = 1/2 * AK * h1 + 1/2 * KD * h1 + 1/2 * BK * h2 + 1/2 * KC * h2
S3 = 1/2 * (KD * h3 + BK * h3 + KC * h3 + BM * h3)
Заметим, что выражения в скобках в площади синего четырехугольника совпадают с выражениями в площади красных треугольников:
KD * h3 = KD * h1,
BK * h3 = BK * h2,
KC * h3 = KC * h1,
BM * h3 = KD * h2.
Таким образом, мы можем записать:
S1 + S2 = 1/2 * AK * h1 + 1/2 * KD * h1 + 1/2 * BK * h2 + 1/2 * KC * h2 = 1/2 * (KD * h3 + BK * h3 + KC * h3 + BM * h3) = S3.
Таким образом, мы доказали, что площадь синего четырехугольника равна сумме площадей красных треугольников.
