Вопрос школьника
В трапеции ABCD (ВС — меньшее основание) диагональ АС равна 4 см, большее основание равно 8 см, ABC = 110°, BAC = 30°. Найдите сторону CD. Ответ округлите до десятых.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника АВС:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB cdot BC cdot cos(angle ABC)$
Подставим известные значения:
$4^2 = 8^2 + BC^2 — 2 cdot 8 cdot BC cdot cos(110^circ)$
$16 = 64 + BC^2 + 16BC cdot cos(70^circ)$
$BC^2 + 16BC cdot cos(70^circ) — 48 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $BC$:
$BC = frac{-16cos(70^circ) pm sqrt{(16cos(70^circ))^2 + 4cdot 48}}{2} = -8cos(70^circ) pm sqrt{16cos^2(70^circ) + 12}$
Так как $BC$ должна быть положительной, выберем знак плюс:
$BC = -8cos(70^circ) + sqrt{16cos^2(70^circ) + 12} approx 6.2$
Теперь найдем сторону $CD$ с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника $BCD$:
$CD^2 = BC^2 + BD^2 = BC^2 + (AB — AC cdot tan(angle BAC))^2$
Подставим известные значения:
$CD^2 = 6.2^2 + (8 — 4 cdot tan(30^circ))^2 approx 34.8$
$CD approx sqrt{34.8} approx 5.9$
Ответ: сторона $CD$ равна примерно 5.9 см.
