Вопрос школьника
В трапеции АВСБ известно, что ВС II АБ, АБ = 8 см, СБ = 4 v3 см. Окружность, проходящая через точки А, В и С, пересекает прямую АБ в точке К, А АКБ — 60°. Найдите ВК.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством окружности, проходящей через три точки: для любых трех точек, лежащих на окружности, сумма углов, образованных этими точками, равна 180 градусам.
Из условия задачи известно, что АКБ — равносторонний треугольник, так как угол АКБ равен 60 градусам. Значит, АК = КВ = АВ/2 = 4 см.
Также из условия задачи известно, что СБ = 4√3 см. Рассмотрим треугольник СКВ. В нем угол СКВ равен 60 градусам (так как он соответствует углу АКВ в равностороннем треугольнике АКВ), а угол ВСК равен 90 градусам (так как СК — высота треугольника СВК). Значит, угол СВК равен 30 градусам.
Теперь мы можем найти длину ВК, используя теорему косинусов для треугольника СВК:
ВК² = СВ² + СК² — 2·СВ·СК·cos(СВК) = 8² + 4√3² — 2·8·4√3·cos(30°) ≈ 23,5
Отсюда получаем, что ВК ≈ 4,85 см.
