Вопрос школьника
В трапеции АВСD основание АD вдвое больше основание ВС и вдвое больше боковой стороны СD. Угол ADC равен 60°, сторона АВ равна 4. Найдите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть основание ВС равно х, тогда основание АD равно 2х, а боковая сторона СD равна х/2. Таким образом, получаем следующую картину:
[insert image]
Так как угол ADC равен 60°, то угол BCD также равен 60° (так как они дополнительны). Также, угол ACD равен 180° — 60° — 90° = 30°.
Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты трапеции. Рассмотрим треугольник ACD:
[insert image]
Мы знаем, что сторона АВ равна 4, а угол ACD равен 30°. Тогда, используя тригонометрическое соотношение для тангенса, мы можем найти высоту трапеции:
tg(30°) = h/2х
h = 2х * tg(30°)
h = 2х * 1/√3
h = 2√3/3 * х
Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу:
S = (a + b) * h / 2
где a и b — основания трапеции, h — высота.
Подставляя значения, получаем:
S = (2х + 4) * 2√3/3 * х / 2
S = (х + 2) * √3 * х
S = √3 * (х^2 + 2х)
Осталось найти значение х. Мы знаем, что основание АD вдвое больше основания ВС, то есть 2х = AD = AB + BD = 4 + BD. Также, мы знаем, что боковая сторона СD вдвое меньше основания АD, то есть х/2 = CD = AD — AC = 2х — 2√3/3 * х. Решая эту систему уравнений, получаем:
х = 4√3/9
Подставляя это значение в формулу для площади трапеции, получаем:
S = √3 * (16/27 + 8/27)
S = √3 * 8/27
S = 8√3/27
Ответ: площадь трапеции равна 8√3/27.
