Вопрос школьника
В трапеции АВСВ (АО || ВС) известно, что АВ = 5 см, ВС = 9 см, АО = 16 см, соэ А = 1/7. Найдите сторону СВ трапеции.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами параллельных прямых.
Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как М. Так как АО || ВС, то треугольники АМВ и СМВ подобны. Из этого следует, что:
$$frac{AM}{SM} = frac{MV}{MV+VB}$$
Так как А = 1/7, то АМ = 1/8 AB. Также из теоремы Пифагора для треугольника АМВ:
$$(AM)^2 + (MV+VB)^2 = (AB)^2$$
Подставляя значения, получаем:
$$left(frac{1}{8}ABright)^2 + (MV+VB)^2 = AB^2$$
$$frac{1}{64}AB^2 + (MV+VB)^2 = AB^2$$
$$(MV+VB)^2 = frac{63}{64}AB^2$$
$$MV+VB = frac{sqrt{63}}{8}AB$$
Также из теоремы Пифагора для треугольника СМВ:
$$(SM)^2 + (MV+VB)^2 = (SV)^2$$
Подставляя значения, получаем:
$$(SM)^2 + left(frac{sqrt{63}}{8}ABright)^2 = (SV)^2$$
Так как АО = 16 см, то АМ = 5/8 AB. Из теоремы Пифагора для треугольника АМО:
$$(AM)^2 + (MO)^2 = (AO)^2$$
Подставляя значения, получаем:
$$left(frac{5}{8}ABright)^2 + (MO)^2 = (16)^2$$
$$frac{25}{64}AB^2 + (MO)^2 = 256$$
$$MO = sqrt{256 — frac{25}{64}AB^2}$$
Так как МО = СО — СМ, то:
$$СО — СМ = sqrt{256 — frac{25}{64}AB^2}$$
$$СО — frac{1}{8}AB = sqrt{256 — frac{25}{64}AB^2}$$
$$СО = sqrt{256 — frac{25}{64}AB^2} + frac{1}{8}AB$$
Таким образом, мы нашли выражение для стороны СВ через стороны АВ и ВС:
$$SV = sqrt{left(frac{sqrt{63}}{8}ABright)^2 + left(sqrt{256 — frac{25}{64}AB^2} + frac{1}{8}ABright)^2}$$
Подставляя известные значения, получаем:
$$SV = sqrt{left(frac{sqrt{63}}{8}cdot 5right)^2 + left(sqrt{256 — frac{25}{64}cdot 5^2} + frac{1}{8}cdot 5right)^2} approx 10.6 text{ см}$$
Ответ: сторона СВ трапеции равна примерно 10.6 см.
