Вопрос школьника
В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная
Ответ от учителя
Для доказательства того, что трапеция является равнобедренной, нужно показать, что ее боковые стороны (стороны, не являющиеся основаниями) равны между собой.
Пусть трапеция ABCD имеет диагональ AC, которая равна сумме оснований AB и CD: AC = AB + CD. Также известно, что угол между диагоналями равен 60°.
Рассмотрим треугольник ABC, который является прямоугольным, так как угол между диагоналями равен 60°. Пусть точка E – середина стороны AB, а точка F – середина стороны CD.
Тогда, по теореме Пифагора, в треугольнике ABC:
BC² = AC² — AB² = (AB + CD)² — AB² = AB² + 2AB·CD + CD² — AB² = 2AB·CD + CD²
Аналогично, в треугольнике ACD:
CD² = AC² — AD² = (AB + CD)² — AD² = AB² + 2AB·CD + CD² — AD² = 2CD·AB + AB²
Сложим эти два уравнения:
BC² + CD² = 2AB·CD + 2CD·AB + AB²
BC² + CD² = 2AB·CD + 2AB·CD + AB²
BC² + CD² = 4AB·CD + AB²
Так как точки E и F являются серединами соответствующих сторон, то EF параллельна основаниям AB и CD, и ее длина равна половине суммы длин этих оснований: EF = (AB + CD) / 2.
Таким образом, мы получили два уравнения:
BC² + CD² = 4AB·CD + AB²
EF² = (AB + CD)² / 4
Заметим, что первое уравнение можно переписать в виде:
BC² — AB² = 2AB·CD — 2CD·AB + CD²
(BC — AB)·(BC + AB) = 2AB·(CD — AB) + CD²
(BC — AB)·(BC + AB — 2CD) = CD² — AB²
Аналогично, второе уравнение можно переписать в виде:
EF² — AB² / 4 — CD² / 4 = AB·CD
EF² — AB² / 4 — CD² / 4 = (AB + CD)·CD / 2
EF² — AB² / 4 — CD² / 4 = (AB·CD + CD²) / 2
EF² — AB² / 4 — CD² / 4 = (BC² — AB²) / 4
EF² — CD² / 4 = BC² / 4
EF² = BC² / 4 + CD² / 4
Таким образом, мы получили два уравнения:
(BC — AB)·(BC + AB — 2CD) = CD² — AB²
EF² = BC² / 4 + CD² / 4
Заметим, что левая часть первого уравнения равна нулю, так как BC — AB = 0 (так как трапеция ABCD является равнобедренной). Поэтому CD² — AB² = 0, и CD = AB.
Таким образом, мы доказали, что боковые стороны трапеции ABCD равны между собой, то есть трапеция является равнобедренной.
