Вопрос школьника
В трапеции основания AD и BC равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точка А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 10
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABD. Он является прямоугольным, так как сумма углов при основании AD равна 90°. Значит, угол ABD также равен 90°.
Пусть O – центр искомой окружности, а R – ее радиус. Так как окружность проходит через точки A и B, то ее центр O лежит на перпендикуляре к AB, проходящем через его середину. Обозначим середину AB как M.
Так как AB = 10, то AM = BM = 5. Рассмотрим треугольник OMC. Он является прямоугольным, так как OM перпендикулярен к CD (как радиус окружности), а MC параллельна CD (так как CD || AB). Значит, угол OMC также равен 90°.
Так как MC = 6 (так как BC = 12), а OM = R, то по теореме Пифагора получаем:
R^2 = OM^2 = OC^2 — MC^2
Осталось найти OC. Рассмотрим треугольник OAB. Он также является прямоугольным, так как угол ABD равен 90°. Значит, угол OAB также равен 90°.
Так как AM = BM = 5, то OA = OB (так как они являются радиусами одной и той же окружности, проходящей через A и B). Значит, треугольник OAB является равнобедренным, и мы можем найти его высоту OH:
OH = AB/2 = 5
Так как угол OAB равен 90°, то OC является гипотенузой прямоугольного треугольника OAH:
OC^2 = OA^2 + AH^2 = R^2 + 5^2
Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу для R^2:
R^2 = OC^2 — MC^2 = (R^2 + 5^2) — 6^2
Решая это уравнение, получаем:
R^2 = 13
Значит, радиус искомой окружности равен √13.
