Вопрос школьника
В трапеции с боковыми сторонами 10 см и 15 см ее диагональ длиной 12 см является средним геометрическим оснований трапеции. Найдите эти основания.
Ответ от учителя
Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, где $a$ — меньшее основание. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю и боковыми сторонами трапеции, имеем:
$$
a^2 + b^2 = 12^2 = 144.
$$
Также из условия задачи следует, что диагональ трапеции является средним геометрическим оснований, то есть:
$$
sqrt{ab} = frac{10+15}{2} = frac{25}{2}.
$$
Возведем это равенство в квадрат и получим:
$$
ab = left(frac{25}{2}right)^2 = frac{625}{4}.
$$
Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$$
begin{cases}
a^2 + b^2 = 144, \
ab = frac{625}{4}.
end{cases}
$$
Решая эту систему, получаем:
$$
a = frac{25}{2}, quad b = frac{50}{3}.
$$
Таким образом, меньшее основание трапеции равно $frac{25}{2}$ см, а большее — $frac{50}{3}$ см.
