Вопрос школьника
В трапецию ABCD можно вписать окружность. Известно, что АВ = CD = 10 см, AD = 18 см.
Найдите:
б) длину окружности, вписанной в трапецию;
в) площадь круга, описанного около трапеции.
Ответ от учителя
а) Так как в трапецию ABCD можно вписать окружность, то это означает, что точки касания окружности с сторонами трапеции делят каждую сторону на две равные части. Обозначим точки касания как E и F (см. рисунок).
Тогда AE = EF = FB = x, а BD = DC = y. Также из условия задачи известно, что AB = CD = 10 см и AD = 18 см.
Из треугольника AEF можно выразить x через радиус вписанной окружности r:
x + x + 10 = 2r
2x + 10 = 2r
x + 5 = r
Из треугольника ABD можно выразить y через r:
y^2 + 10y + x^2 = (2r)^2
y^2 + 10y + x^2 = 4r^2
y^2 + 10y + (r-5)^2 = 4(r+5)^2
y^2 + 10y + r^2 — 10r + 25 = 4r^2 + 40r + 100
3r^2 + 50r — y^2 — 10y — 75 = 0
Теперь можно решить систему уравнений:
x + 5 = r
3r^2 + 50r — y^2 — 10y — 75 = 0
Подставляем x и y:
3(r-5)^2 + 50(r-5) — (r-5)^2 — 10(r-5) — 75 = 0
2(r-5)^2 + 20(r-5) — 25 = 0
2(r-5)^2 + 20(r-5) = 25
(r-5)^2 + 10(r-5) = 12.5
r^2 — 20r + 100 + 10r — 50 = 12.5
r^2 — 10r — 37.5 = 0
(r-7.5)(r-5) = 0
Таким образом, радиус вписанной окружности равен r = 7.5 см.
б) Длина окружности, вписанной в трапецию, равна 2πr, где r — радиус вписанной окружности. Подставляем значение r:
L = 2πr = 2π(7.5) ≈ 47.12 см
в) Площадь круга, описанного около трапеции, равна πR^2, где R — радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен половине диагонали трапеции:
R = 1/2 √(AD^2 + (AB-CD)^2) = 1/2 √(18^2 + (10-10)^2) = 9√2 см
Подставляем значение R:
S = πR^2 = π(9√2)^2 ≈ 254.47 см^2
Ответ: б) длина окружности, вписанной в трапецию, ≈ 47.12 см; в) площадь круга, описанного около трапеции, ≈ 254.47 см^2.
