Вопрос школьника
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 18, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы для длины средней линии трапеции:
$$
m = frac{a+b}{2},
$$
где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции.
Также нам дано, что сумма длин боковых сторон трапеции равна 18. Обозначим эти длины через $l_1$ и $l_2$. Так как боковые стороны трапеции параллельны, то $l_1$ и $l_2$ равны соответственно длинам боковых сторон, параллельных основаниям трапеции. Обозначим эти длины через $h_1$ и $h_2$.
Так как вписана окружность, то ее центр лежит на пересечении диагоналей трапеции. Обозначим эту точку через $O$. Тогда $O$ является центром вписанной окружности, а $r$ — ее радиусом.
Рассмотрим треугольник $AOB$, где $A$ и $B$ — основания трапеции. Этот треугольник прямоугольный, так как его гипотенуза — это диагональ трапеции, а катеты — это половины оснований. Из этого треугольника мы можем выразить радиус вписанной окружности:
$$
r = frac{h_1 + h_2}{2}.
$$
Теперь мы можем выразить длины оснований трапеции через длины боковых сторон и радиус вписанной окружности:
$$
a = l_1 + 2r = l_1 + h_1 + h_2,
$$
$$
b = l_2 + 2r = l_2 + h_1 + h_2.
$$
Теперь мы можем выразить длину средней линии трапеции через длины оснований:
$$
m = frac{a+b}{2} = frac{l_1 + l_2 + 2h_1 + 2h_2}{2}.
$$
Осталось заметить, что $h_1 + h_2$ равно высоте трапеции, которую мы можем выразить через площадь $S$ и длину средней линии $m$:
$$
h_1 + h_2 = frac{2S}{a+b} = frac{2S}{2m} = frac{S}{m}.
$$
Таким образом, мы получаем окончательную формулу для длины средней линии трапеции:
$$
m = frac{l_1 + l_2}{2} cdot frac{S}{h_1 + h_2} = frac{l_1 + l_2}{2} cdot frac{S}{frac{S}{m}} = frac{l_1 + l_2}{2}.
$$
Таким образом, длина средней линии трапеции равна половине суммы длин боковых сторон:
$$
m = frac{l_1 + l_2}{2} = frac{18}{2} = 9.
$$
Ответ: длина средней линии трапеции равна 9.
