Вопрос школьника
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 30, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание формулы для длины средней линии трапеции:
$l = frac{a+b}{2}$
где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции.
Также нам дано, что сумма длин боковых сторон трапеции равна 30. Обозначим эти стороны как $c$ и $d$.
Так как трапеция имеет две пары параллельных сторон, то мы можем разбить ее на два треугольника, вписанных в окружность. Такие треугольники называются равнобедренными, так как у них две равные стороны (радиус окружности) и два равных угла при основании.
Обозначим длину радиуса окружности как $r$. Тогда длины боковых сторон трапеции равны:
$c = 2r$
$d = 2r$
Суммируя эти выражения, получаем:
$c + d = 4r$
Так как $c + d = 30$, то:
$4r = 30$
$r = frac{30}{4} = 7.5$
Теперь мы можем найти длины оснований трапеции, используя теорему Пифагора для равнобедренного треугольника:
$a^2 = b^2 = 2r^2 — h^2$
где $h$ — высота треугольника, которая равна радиусу окружности.
$a^2 = b^2 = 2 cdot 7.5^2 — 7.5^2 = 37.5$
$a = b = sqrt{37.5} approx 6.12$
Теперь мы можем найти длину средней линии трапеции, используя формулу:
$l = frac{a+b}{2} = frac{2sqrt{37.5}}{2} = sqrt{37.5} approx 6.12$
Ответ: длина средней линии трапеции равна примерно 6.12.
