Вопрос школьника
В треугольник ABC вписан квадрат KLMN. При этом точка M лежит на стороне AC, точка N лежит на стороне AC, точка K лежит на стороне AB, точка L лежит на стороне BC. Найти сторону квадрата, если длина стороны AC треугольника равна a, высота BD, опущенная из вершины B треугольника равна h.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольник ABD. Он прямоугольный, так как BD — высота, а угол B равен 90 градусов. Также заметим, что сторона квадрата KLMN параллельна стороне AB треугольника ABC, а значит, она также параллельна BD. Тогда можно провести отрезок KL, параллельный BD, и получить прямоугольный треугольник KBL.
Пусть сторона квадрата равна x. Тогда сторона треугольника ABK равна a-x, а сторона треугольника BCL равна a-x-h. Из прямоугольного треугольника KBL получаем:
$$(a-x)^2 + h^2 = x^2$$
$$a^2 — 2ax + x^2 + h^2 = x^2$$
$$a^2 — 2ax + h^2 = 0$$
$$x = frac{a^2 + h^2}{2a}$$
Таким образом, сторона квадрата равна $frac{a^2 + h^2}{2a}$.
