Вопрос школьника
В треугольник ABC вписан квадрат со стороной a так, что две его смежные вершины лежат на стороне AC, равной b, а две другие вершины — на сторонах AB и BC. Найдите высоту BH треугольника ABC.
Ответ от учителя
Пусть точки D и E являются серединами сторон AB и BC соответственно. Тогда квадрат, вписанный в треугольник ABC, имеет сторону a, которая является диагональю прямоугольного треугольника ADE. По теореме Пифагора:
$AD^2 + DE^2 = AE^2$
Так как AD = DE = b/2, то:
$(b/2)^2 + (b/2)^2 = AE^2$
$AE = b/sqrt{2}$
Также заметим, что треугольник AHB подобен треугольнику ABC, так как они имеют две пары соответственных углов. Следовательно, отношение высот треугольников AHB и ABC равно отношению соответствующих сторон:
$BH/BC = AH/AC$
$BH/b = AH/(b + a)$
$BH = b cdot AH/(b + a)$
Осталось найти высоту AH. Для этого заметим, что треугольник ADE является прямоугольным и равнобедренным, поэтому высота AH является медианой и медиана делит гипотенузу пополам:
$AH = AE/2 = b/sqrt{2} cdot 1/2 = b/sqrt{8}$
Таким образом, высота треугольника ABC равна:
$BH = b cdot AH/(b + a) = b cdot (b/sqrt{8})/(b + a) = bsqrt{2}/(2 + sqrt{2})$
