Вопрос школьника
В треугольник с углами 30 °, 70 ° i 80 ° вписан круг. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками соприкосновения вписанной окружности к сторонам данного треугольника
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, что точка соприкосновения вписанной окружности к стороне треугольника делит эту сторону на две отрезка, длины которых равны между собой и равны полусумме длин двух других сторон треугольника.
Пусть ABC — исходный треугольник, а A’, B’, C’ — точки соприкосновения вписанной окружности к сторонам BC, AC и AB соответственно. Пусть r — радиус вписанной окружности, a, b, c — длины сторон треугольника.
Тогда, согласно вышеуказанному свойству, имеем:
AB’ = AC’ = x
BC’ = BA’ = y
CA’ = CB’ = z
где
x = (b + c — a) / 2
y = (a + c — b) / 2
z = (a + b — c) / 2
Также известно, что угол между касательной к окружности в точке соприкосновения и соответствующей стороной треугольника равен половине угла при вершине этой стороны.
Таким образом, угол BAC равен 180° — 70° — 80° = 30°. Значит, угол между касательной к окружности в точке A’ и стороной BC равен 15°. Аналогично, углы между касательными к окружности в точках B’ и C’ и соответствующими сторонами треугольника равны 35° и 40° соответственно.
Теперь можно найти углы треугольника ABC. Обозначим через α, β и γ углы при вершинах A, B и C соответственно. Тогда имеем:
α = 180° — 2·(15° + 40°) = 85°
β = 180° — 2·(35° + 15°) = 95°
γ = 180° — 2·(35° + 40°) = 65°
Таким образом, углы треугольника ABC равны 85°, 95° и 65°.
