Вопрос школьника
В треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см вписана окружность. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится найти радиус вписанной окружности. Для этого воспользуемся формулой:
$r = frac{S_{triangle}}{p}$,
где $S_{triangle}$ — площадь треугольника, $p$ — полупериметр треугольника.
Полупериметр треугольника равен:
$p = frac{13+14+15}{2} = 21$.
Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:
$S_{triangle} = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,
где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника.
Подставляем значения:
$S_{triangle} = sqrt{21cdot(21-13)cdot(21-14)cdot(21-15)} = sqrt{21cdot8cdot7cdot6} = 84$.
Теперь можем найти радиус вписанной окружности:
$r = frac{S_{triangle}}{p} = frac{84}{21} = 4$.
Площадь закрашенной фигуры состоит из площади треугольника и четырех сегментов окружности. Площадь одного сегмента можно найти по формуле:
$S_{text{сегмента}} = frac{r^2}{2}(alpha — sinalpha)$,
где $alpha$ — центральный угол сегмента, соответствующий данной дуге окружности.
В нашем случае центральный угол сегмента равен:
$alpha = 2arcsinfrac{a}{2r}$,
где $a$ — длина стороны треугольника, к которой примыкает данный сегмент.
Подставляем значения:
$alpha = 2arcsinfrac{13}{8} approx 2.44$ радиан.
$S_{text{сегмента}} = frac{4^2}{2}(2.44 — sin 2.44) approx 5.53$.
Площадь четырех сегментов равна:
$4cdot S_{text{сегмента}} approx 22.12$.
Таким образом, площадь закрашенной фигуры равна:
$S = S_{triangle} + 4cdot S_{text{сегмента}} approx 106.12$.
Ответ: площадь закрашенной фигуры равна примерно 106.12 квадратных сантиметров.
