Вопрос школьника
В треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Вычислите длины сторон треугольника, если одна из них делится точкой касания на отрезки, длины которых равны 3 см и 4 см.
Ответ от учителя
Пусть треугольник ABC имеет вписанную окружность с центром O и радиусом r=3 см. Пусть точка касания окружности с стороной AB делит ее на отрезки AD и DB, причем AD=3 см, а DB=4 см. Тогда, по свойству касательной, угол AOD равен прямому углу, где O — центр окружности, а D — точка касания.
Так как угол AOD прямой, то AD и OD являются катетами прямоугольного треугольника AOD, а гипотенуза AO равна радиусу окружности и равна 3 см. Тогда, по теореме Пифагора, мы можем выразить OD через AD и AO:
OD^2 = AO^2 — AD^2 = 3^2 — 3^2 = 0
Отсюда следует, что OD=0, то есть точка D совпадает с точкой касания окружности с стороной AB. Таким образом, сторона AB является суммой отрезков AD и DB, то есть AB=AD+DB=3+4=7 см.
Аналогично, мы можем выразить длины сторон BC и AC. Пусть точки касания окружности с сторонами BC и AC делят их на отрезки BE, EC и AF, FC соответственно. Тогда, по аналогии с вышеописанным, мы можем получить:
BC=BE+EC=4+5=9 см
AC=AF+FC=3+6=9 см
Таким образом, длины сторон треугольника ABC равны AB=7 см, BC=9 см и AC=9 см.
