Вопрос школьника
В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны углы A и A₁, стороны AB и A₁B₁, биссектрисы AD и A₁D₁. Докажите, что ᐃABC = ᐃA₁B₁C₁.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства треугольников ᐃABC и ᐃA₁B₁C₁ необходимо показать, что они имеют равные стороны и равные углы.
У нас уже есть данные о равных углах A и A₁, а также о равных сторонах AB и A₁B₁. Осталось доказать, что биссектрисы AD и A₁D₁ также равны.
По определению биссектрисы, она делит соответствующий угол на две равные части. Таким образом, угол BAD равен углу B₁A₁D₁, а угол CAD равен углу C₁A₁D₁.
Теперь рассмотрим треугольники ᐃABD и ᐃA₁B₁D₁. У них равны углы BAD и B₁A₁D₁, а также равны стороны AB и A₁B₁. По теореме о равных углах следует, что эти треугольники подобны.
Аналогично, рассмотрим треугольники ᐃACD и ᐃA₁C₁D₁. У них равны углы CAD и C₁A₁D₁, а также равны стороны AC и A₁C₁. По теореме о равных углах следует, что эти треугольники подобны.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ᐃABD и ᐃA₁B₁D₁ подобны, а также треугольники ᐃACD и ᐃA₁C₁D₁ подобны. Из этого следует, что соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.
Так как мы уже знаем, что стороны AB и A₁B₁ равны, то из пропорциональности сторон следует, что сторона BD равна стороне B₁D₁, а сторона CD равна стороне C₁D₁.
Таким образом, мы доказали, что треугольники ᐃABC и ᐃA₁B₁C₁ имеют равные стороны и равные углы, что означает их полное равенство.
