Вопрос школьника
В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ равны и AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. На сторонах AC и A₁C₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠DBC = ∠D₁B₁C₁. Докажите, что треугольники BDC и B₁D₁C₁ равны, и сравните углы BDC и B₁D₁C₁.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства треугольников BDC и B₁D₁C₁ нужно показать, что они имеют равные стороны и равные углы.
1. Равные стороны:
AB = A₁B₁ (по условию)
AC = A₁C₁ (по условию)
BD = B₁D₁ (так как точки D и D₁ лежат на одной прямой)
2. Равные углы:
∠DBC = ∠D₁B₁C₁ (по условию)
∠BDC = ∠B₁D₁C₁ (вертикальные углы)
Таким образом, треугольники BDC и B₁D₁C₁ равны.
Сравнение углов BDC и B₁D₁C₁:
∠BDC = ∠B₁D₁C₁ (по доказанному выше)
∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (по условию)
∠ABC = ∠A₁B₁C₁ (по условию)
Значит, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равнобедренные, а значит, углы BAC и B₁A₁C₁ равны. Также, углы ABC и A₁B₁C₁ равны. Из этого следует, что углы BDC и B₁D₁C₁ равны.
