Вопрос школьника
В треугольниках ABC и А₁В₁С₁ медианы BF и B₁F₁ равны, АВ =А₁В₁ и АС = А₁С₁. Докажите, что треугольник ABC равен треугольнику А₁В₁С₁
Ответ от учителя
Для начала заметим, что медиана BF является одновременно и высотой, и медианой в треугольнике ABC. Аналогично, медиана B₁F₁ является высотой и медианой в треугольнике А₁В₁С₁.
Так как медианы равны, то точка их пересечения (точка F) является одновременно центром тяжести и окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Аналогично, точка пересечения медиан в треугольнике А₁В₁С₁ (точка F₁) является центром тяжести и окружности, описанной вокруг треугольника А₁В₁С₁.
Так как АВ = А₁В₁ и АС = А₁С₁, то треугольники ABC и А₁В₁С₁ являются равнобедренными.
Также, так как точки F и F₁ являются центрами описанных окружностей, то у них равны радиусы.
Из этого следует, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ равны по двум сторонам и углу между ними (угол между медианами). Следовательно, треугольники ABC и А₁В₁С₁ равны.
