Вопрос школьника
В треугольниках ABC и А1В1С1 известно, что ∠A = ∠A1 ∠B = ∠B1 АВ = 6 см, ВС = 8 см, А1В1 = 9 см, А1С1 = 18 см. Найдите неизвестные стороны данных треугольников.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов.
В треугольнике ABC известны стороны AB = 6 см и BC = 8 см, а угол между ними равен ∠B. Обозначим через AC неизвестную сторону треугольника. Тогда теорема синусов имеет вид:
sin ∠B = BC / AC
Отсюда находим:
AC = BC / sin ∠B = 8 / sin ∠B
Аналогично, в треугольнике A1B1C1 известны стороны A1B1 = 9 см и A1C1 = 18 см, а угол между ними равен ∠A1. Обозначим через B1C1 неизвестную сторону треугольника. Тогда теорема синусов имеет вид:
sin ∠A1 = A1C1 / B1C1
Отсюда находим:
B1C1 = A1C1 / sin ∠A1 = 18 / sin ∠A1
Теперь осталось найти значения синусов углов ∠B и ∠A1. Для этого воспользуемся теоремой косинусов. В треугольнике ABC известны стороны AB = 6 см, BC = 8 см и угол между ними ∠B. Тогда теорема косинусов имеет вид:
AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2AB·BC·cos ∠B
Подставляем известные значения и находим:
AC^2 = 6^2 + 8^2 — 2·6·8·cos ∠B
AC^2 = 100 — 96·cos ∠B
Аналогично, в треугольнике A1B1C1 известны стороны A1B1 = 9 см, A1C1 = 18 см и угол между ними ∠A1. Тогда теорема косинусов имеет вид:
B1C1^2 = A1B1^2 + A1C1^2 — 2A1B1·A1C1·cos ∠A1
Подставляем известные значения и находим:
B1C1^2 = 9^2 + 18^2 — 2·9·18·cos ∠A1
B1C1^2 = 405 — 324·cos ∠A1
Теперь осталось найти значения косинусов углов ∠B и ∠A1. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике АВС1. Известны стороны АВ = 6 см, ВС1 = 8 см и угол между ними ∠A1. Тогда теорема косинусов имеет вид:
AC^2 = AB^2 + BС1^2 — 2AB·BС1·cos ∠A1
Подставляем известные значения и находим:
AC^2 = 6^2 + 8^2 — 2·6·8·cos ∠A1
AC^2 = 100 — 96·cos ∠A1
Сравнивая полученные выражения для AC^2, B1C1^2 и cos ∠A1, можно составить систему уравнений:
AC^2 = 100 — 96·cos ∠B
B1C1^2 = 405 — 324·cos ∠A1
AC^2 = 100 — 96·cos ∠A1
Решая эту систему, находим:
cos ∠B = 3/4
cos ∠A1 = 1/4
Теперь можем найти значения синусов углов ∠B и ∠A1:
sin ∠B = √(1 — cos^2 ∠B) = √(1 — 9/16) = √(7/16) = √7/4
sin ∠A1 = √(1 — cos^2 ∠A1) = √(1 — 1/16) = √(15/16) = √15/4
И, наконец, можем найти значения неизвестных сторон:
AC = 8 / sin ∠B = 8 / (√7/4) = 32 / √7
B1C1 = 18 / sin ∠A1 = 18 / (√15/4) = 24 / √15
Таким образом, неизвестные стороны треугольников ABC и A1B1C1 равны:
AC = 32 / √7 см
B1C1 = 24 / √15 см
