Вопрос школьника
В треугольнике ABC ∠C = 30°, AC = 10 см, ВС = 8 см. Через вершину А проведена прямая а, параллельная ВС. Найдите: а) расстояние от точки В до прямой АС; б) расстояние между прямыми а и ВС.
Ответ от учителя
а) Расстояние от точки В до прямой АС можно найти, используя формулу для расстояния от точки до прямой:
d = |(x2 — x1) * (y1 — y0) — (x1 — x0) * (y2 — y1)| / √((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)
где (x0, y0) — координаты точки В, (x1, y1) и (x2, y2) — координаты двух произвольных точек на прямой АС.
Мы знаем, что прямая а параллельна ВС, поэтому она также параллельна стороне АС треугольника ABC. Значит, координаты точек А и С можно найти, используя теорему Пифагора:
AB = AC * sin(∠C) = 10 * sin(30°) = 5 см
BC = AC * cos(∠C) = 10 * cos(30°) = 8.66 см
Таким образом, координаты точек А и С равны:
A(0, 0)
C(8.66, 5)
Теперь мы можем найти уравнение прямой АС, используя координаты двух точек:
(y — y1) / (y2 — y1) = (x — x1) / (x2 — x1)
(y — 5) / (0 — 5) = (x — 8.66) / (0 — 8.66)
y = -5/8.66 * x + 5
Теперь мы можем найти расстояние от точки В до прямой АС, подставив координаты точки В в уравнение прямой:
d = |(-8.66) * (5) — (0) * (-5) + (0) * (0)| / √((-8.66)^2 + (5)^2) ≈ 3.72 см
Ответ: расстояние от точки В до прямой АС равно примерно 3.72 см.
б) Расстояние между прямыми а и ВС равно расстоянию между параллельными прямыми, которое можно найти, используя формулу:
d = |b — a| / √(m^2 + 1)
где a и b — произвольные точки на прямых, m — угловой коэффициент прямой.
Мы знаем, что прямая а параллельна ВС, поэтому ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту ВС:
m = (y2 — y1) / (x2 — x1) = (5 — 0) / (8 — 0) = 5/8
Теперь нам нужно найти произвольные точки на прямых а и ВС. Мы уже знаем координаты точки В, поэтому можем найти координаты точки D — точки пересечения прямых а и ВС. Для этого мы можем использовать уравнения прямых:
y = -5/8.66 * x + 5 (уравнение прямой АС)
y = 5/8 * x (уравнение прямой а)
Приравняем их и найдем координаты точки D:
-5/8.66 * x + 5 = 5/8 * x
x = 17.32 / 13.66 ≈ 1.27
y = 5/8 * x ≈ 0.79
Таким образом, координаты точки D равны:
D(1.27, 0.79)
Теперь мы можем найти расстояние между прямыми а и ВС, подставив произвольные точки на прямых в формулу:
d = |(0.79) — (0)| / √((5/8)^2 + 1) ≈ 0.61 см
Ответ: расстояние между прямыми а и ВС равно примерно 0.61 см.
