Вопрос школьника
В треугольнике ABC ∠C = 90°. На стороне АВ взята точка М так, что АВ = ЗАМ. Через точку М проведена прямая а, параллельная АС. Докажите, что расстояние от точки В до прямой а вдвое больше расстояния между прямыми а и АС.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами параллельных прямых и подобия треугольников.
Пусть точка D — точка пересечения прямых а и АС. Тогда, так как а || АС, то ∠BDM = ∠ACD (по соответственным углам). Также, так как ∠C = 90°, то ∠ACD = ∠ABM (по свойству прямого угла). Значит, ∠BDM = ∠ABM.
Таким образом, треугольники BDM и ABM подобны по двум углам. Значит, соответствующие стороны пропорциональны. Обозначим расстояние от точки В до прямой а через h, а расстояние между прямыми а и АС через d. Тогда:
h/BD = AB/AM
h/(BD + DM) = AB/2AM (так как AB = 2AM)
h/(BD + h) = AB/2AB (так как DM = h)
h/(BD + h) = 1/2
2h = BD + h
h = BD
Таким образом, расстояние от точки В до прямой а равно расстоянию от точки D до прямой АВ. А так как треугольник BCD прямоугольный, то расстояние от точки В до прямой а вдвое больше расстояния между прямыми а и АС:
h = BD = 2d
Доказательство завершено.
