Вопрос школьника
В треугольнике ABC ∠C = 90°, внешний угол при вершине В равен 150°, АА1 — биссектриса, АА1 = 20 см. Найдите А1С.
Ответ от учителя
Из условия задачи известно, что треугольник ABC прямоугольный, а угол BAC делится биссектрисой на два равных угла. Обозначим угол BAC как α, тогда ∠BAC = 2α.
Также известно, что внешний угол при вершине В равен 150°, значит, внутренний угол при вершине B равен 30° (сумма внутреннего и внешнего углов при вершине равна 180°).
Таким образом, в треугольнике ABC известны два угла: ∠C = 90° и ∠BAC = 2α. Значит, третий угол равен 180° — 90° — 2α = 90° — 2α.
Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора:
AC² = AB² + BC²
Заменим AB на ACsinα (так как АА1 является биссектрисой, то угол BAA1 равен α) и BC на ACcosα (так как угол BAC равен 2α, то угол ABC равен 90° — 2α):
AC² = AC²sin²α + AC²cos²α
AC² = AC²(sin²α + cos²α)
AC² = AC²
Таким образом, мы получили, что AC = AC, что и следовало доказать.
Теперь рассмотрим треугольник АА1С. Известно, что АА1 = 20 см, а угол АА1С равен 90° — 2α (так как угол BAC равен 2α). Так как АА1 является биссектрисой, то угол АА1С также делится на два равных угла, значит, угол А1СА равен (90° — (90° — 2α))/2 = α.
Теперь мы знаем два угла и одну сторону треугольника АА1С, значит, можем найти все остальные стороны и углы с помощью тригонометрических функций.
Из прямоугольного треугольника АА1С следует, что:
sinα = A1C/AA1
A1C = AA1sinα = 20sinα
Таким образом, чтобы найти A1C, нам нужно найти значение sinα.
Из треугольника ABC следует, что:
sinα = AB/AC = ACsinα/AC = sinα
Таким образом, sinα = sinα, что и следовало доказать.
Итак, мы получили, что A1C = 20sinα. Значит, чтобы найти A1C, нам нужно найти значение sinα.
Из треугольника ABC следует, что:
cosα = BC/AC = ACcosα/AC = cosα
Таким образом, cosα = cosα, что и следовало доказать.
Так как угол BAC делится биссектрисой на два равных угла, то:
tanα = AB/AA1 = AA1/AB
Заменим AB на ACsinα и AA1 на 20:
tanα = 20/(ACsinα)
Так как sinα = cos(90° — α), то:
tanα = 20/(ACcos(90° — α))
tanα = 20/tanα
tan²α = 20
tanα = √20
Таким образом, мы нашли значение tanα. Чтобы найти sinα, нам нужно разделить tanα на √(1 + tan²α):
sinα = tanα/√(1 + tan²α) = √20/√21 = √(20/21)
Теперь мы можем найти A1C:
A1C = 20sinα = 20√(20/21) ≈ 19,14 см
Ответ: A1C ≈ 19,14 см.
