Вопрос школьника
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника ABC.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрисы и медианы обозначена буквой M. Тогда, так как AM является медианой, то BM = MC. Также, так как BE является биссектрисой, то угол ABC равен углу ABE, а угол ACB равен углу CBE. Обозначим эти углы через α. Тогда угол BAC равен 180° — 2α.
Так как AM является медианой, то BM = MC = 12. Также, так как BE является биссектрисой, то BM/BE = MC/CE, откуда следует, что BE = CE = 24/5.
Рассмотрим треугольник ABE. Так как угол BAE равен половине угла BAC, то он равен α. Также, так как AM перпендикулярна BE, то AM является высотой треугольника ABE. Тогда площадь треугольника ABE равна (1/2) * AB * BE * sin(α), а также равна (1/2) * AM * BE. Следовательно, AB * sin(α) = 48/5.
Рассмотрим треугольник ABC. Так как угол BAC равен 180° — 2α, то sin(BAC) = sin(2α) = 2sin(α)cos(α). Также, так как BE является биссектрисой, то AB/BC = AE/EC = (sin(BAC)/sin(ABC)) = 2cos(α)/(1 + 2cos(α)). Отсюда следует, что AB = (48/5) / (2cos(α)/(1 + 2cos(α))) = 12(1 + 2cos(α))/5cos(α).
Таким образом, мы нашли выражения для сторон треугольника ABC через угол α. Осталось только найти этот угол. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABC:
AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2AC*BC*cos(BAC)
Подставим найденные выражения для AB и cos(BAC):
(12(1 + 2cos(α))/5cos(α))^2 = AC^2 + BC^2 — 2AC*BC*cos(2α)
Упростим:
144(1 + 4cos^2(α) + 4cos(α))/25cos^2(α) = AC^2 + BC^2 — 2AC*BC*(2cos^2(α) — 1)
Умножим обе части на 25cos^2(α):
144(1 + 4cos^2(α) + 4cos(α)) = 25cos^2(α)*AC^2 + 25cos^2(α)*BC^2 — 50cos^2(α)*AC*BC*(2cos^2(α) — 1)
Разделим обе части на 25cos^2(α):
144/25 + 16cos^2(α)/25 + 16cos(α)/25 = AC^2 + BC^2 — 2AC*BC*(2cos^2(α) — 1)
Так как AC = BC, то AC^2 + BC^2 = 2AC^2. Подставим это в уравнение:
144/25 + 16cos^2(α)/25 + 16cos(α)/25 = 2AC^2 — 4AC^2*cos^2(α)
Упростим:
16cos(α) + 16cos^2(α) + 144/25 = 2AC^2*(1 — 2cos^2(α))
16cos(α) + 16cos^2(α) + 144/25 = 2AC^2*sin^2(α)
16cos(α) + 16cos^2(α) + 144/25 = 2(12)^2*sin^2(α)
16cos(α) + 16cos^2(α) + 144/25 = 576*sin^2(α)
Перенесем все в одну сторону:
576*sin^2(α) — 16cos(α) — 16cos^2(α) — 144/25 = 0
576 — 576*cos^2(α) — 16cos(α) — 16cos^2(α) — 144/25 = 0
Перенесем все в одну сторону и упростим:
625cos^2(α) + 40cos(α) — 576 = 0
Решим это квадратное уравнение:
cos(α) = (-40 ± sqrt(40^2 + 4*625*576)) / (2*625) = -0.8 или 0.576
Так как угол α должен быть меньше 90°, то мы выбираем положительный корень:
cos(α) = 0.576
Тогда sin(α) = sqrt(1 — cos^2(α)) = 0.817
Теперь мы можем найти стороны треугольника ABC:
AB = 12(1 + 2cos(α))/5cos(α) = 20
AC = BC = AB/sin(BAC) = 20/sin(180° — 2α) = 20/2sin(α)cos(α) = 20/2*0.576*0.817 = 23.1
Ответ: стороны треугольника ABC равны AB = 20, AC = BC = 23.1.
