Вопрос школьника
В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника ABC
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрисы и медианы называется O. Тогда, так как BE является биссектрисой, то угол ABO равен углу CBO, а также угол ABO равен углу ABD, так как AD является медианой. Значит, угол CBO равен углу ABD, то есть треугольник ABD равнобедренный. Также, так как AD является медианой, то BD = DC.
Пусть AB = x, BC = y, AC = z. Тогда, так как треугольник ABD равнобедренный, то BD = AD = 164. Также, так как BD = DC, то BC = 2BD = 328.
Рассмотрим треугольник ABC. Из уравнения косинусов для угла B получаем:
cos(B) = (x^2 + z^2 — y^2) / (2xz)
Так как BE является биссектрисой, то из уравнения биссектрисы получаем:
BE / BC = AB / AC
То есть:
x / 328 = AB / AC
Отсюда:
AB = x^2 / 328
AC = 328 — AB = 328 — x^2 / 328
Также, так как AD является медианой, то из уравнения медианы получаем:
2AD^2 + 2BD^2 — AB^2 — AC^2 = BC^2
Подставляем известные значения:
2(164^2) + 2(164^2) — (x^2 / 328)^2 — (328 — x^2 / 328)^2 = 328^2
Решаем это уравнение относительно x:
x = 164 * sqrt(2 * (328^2 — 164^2)) / sqrt(3 * 328^2 + 2 * 164^2)
x ≈ 267.6
Отсюда:
AB ≈ 267.6^2 / 328 ≈ 218.5
AC ≈ 328 — 218.5 ≈ 109.5
Итак, стороны треугольника ABC равны:
AB ≈ 218.5, BC = 328, AC ≈ 109.5
