Вопрос школьника
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B в отношении 17:15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=16
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрисы угла A и высоты, проведенной из вершины B, обозначена буквой D. Тогда, согласно условию, BD = 15x, AD = 17x, и CD = BC — BD = 16 — 15x.
Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику ABC, так как угол ABD является смежным с углом ABC и угол BAD является общим. Поэтому, мы можем записать:
AB/BD = AC/CD
AB/(15x) = AC/(16 — 15x)
AB = (15x * AC)/(16 — 15x)
Также, мы можем использовать формулу для вычисления радиуса описанной окружности в треугольнике ABC:
R = (abc)/(4S), где a, b, c — стороны треугольника, а S — его площадь.
Заметим, что S = (1/2) * BD * AC, так как BD и AC являются высотами треугольника ABD и ABC соответственно. Поэтому, мы можем записать:
S = (1/2) * 15x * AC
Теперь, мы можем выразить R через стороны треугольника ABC:
R = (AB * BC * AC)/(4S)
R = (15x * AC * 16 * (15x * AC)/(16 — 15x))/(4 * (1/2) * 15x * AC)
R = (120x^2 * AC)/(8x * AC)
R = 15x
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15x. Чтобы найти значение x, мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике BCD:
BD^2 + CD^2 = BC^2
(15x)^2 + (16 — 15x)^2 = 16^2
450x^2 — 480x + 256 = 0
Решая это квадратное уравнение, мы получаем:
x = (8/15)
Подставляя это значение в выражение для радиуса, мы получаем:
R = 15x = 8
Итак, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.
