Вопрос школьника
В треугольнике ABC биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О, угол ABC = 32°, угол AOB = 106°. Докажите, что треугольник ABC не является остроугольным.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что треугольник ABC не является остроугольным, достаточно показать, что угол ACB больше 90 градусов.
Известно, что биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О. По свойству биссектрисы угла, точка О делит сторону АВ на отрезки, пропорциональные смежным сторонам треугольника. То есть, если АО делит сторону АВ на отрезки в отношении АО:ОВ, то ВО делит сторону АВ на отрезки в отношении BO:OA.
Пусть АО = x, ОВ = y, ВО = z, ОС = t. Тогда, по свойству биссектрисы угла, имеем:
x/y = AC/BC
z/x = AB/AC
Умножим эти два уравнения друг на друга:
(x/y) * (z/x) = (AC/BC) * (AB/AC)
z/y = AB/BC
Таким образом, мы получили, что отношение сторон AB и BC равно отношению отрезков ВО и ОС на стороне АВ.
Теперь рассмотрим треугольник AOB. Из условия задачи известно, что угол AOB равен 106 градусам. Так как точка О является точкой пересечения биссектрис углов А и В, то углы АОВ и ВОА равны между собой. Таким образом, угол АВО равен (180 — 106)/2 = 37 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник ABC. Известно, что угол ABC равен 32 градусам. Так как точка О является точкой пересечения биссектрис углов А и В, то угол АОВ равен (180 — 32)/2 = 74 градуса. Таким образом, угол ВОС равен 74 — 37 = 37 градусов.
Из полученных выше равенств следует, что угол ACB равен 180 — 2 * 37 = 106 градусов. Таким образом, треугольник ABC не является остроугольным, так как угол ACB больше 90 градусов.
