Вопрос школьника
В треугольнике ABC биссектрисы углов А и В пересекаются в точке О. Вычислите градусную меру угла АОВ, если угол BAC = 48°, a угол ABC = 86°.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрис треугольника: биссектриса угла делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Таким образом, мы можем найти отрезки AC и BC, которые делятся биссектрисой угла А и В соответственно.
Пусть точка пересечения биссектрис углов А и В обозначена как О. Тогда мы можем записать:
AC/AB = CO/OB
BC/AB = CO/OA
Заметим, что AB является общей стороной для обоих отношений. Мы можем выразить AC и BC через AB, используя эти отношения:
AC = AB * CO/OB
BC = AB * CO/OA
Теперь мы можем выразить угол АОВ через углы треугольника ABC. Заметим, что угол АОС является внутренним углом треугольника AOC, а угол ВОС — внутренним углом треугольника BOC. Таким образом, мы можем записать:
угол АОС = 180° — угол AOC — угол OAC
угол ВОС = 180° — угол BOC — угол OBC
Заметим, что угол AOC и угол BOC являются смежными углами, так как они образованы пересечением биссектрисы угла АВ. Таким образом, мы можем записать:
угол AOC = угол BOC
Теперь мы можем выразить угол АОВ через углы треугольника ABC:
угол АОВ = угол AOC + угол ВOC
угол АОВ = 2 * угол AOC + угол ABC — 180°
Осталось только вычислить угол AOC. Для этого мы можем воспользоваться теоремой синусов в треугольнике AOC:
sin угла AOC = AC/OC = AB * CO/(OC * OB)
Заметим, что OC является биссектрисой угла АВ, так что мы можем выразить OC через стороны треугольника ABC:
OC = AB * sin угла BAC / sin угла ABC
Теперь мы можем выразить sin угла AOC через стороны треугольника ABC:
sin угла AOC = AC * OB / (AB * OC)
Подставляя значения AC, OB и OC, получаем:
sin угла AOC = AB * CO / (AB * sin угла BAC)
sin угла AOC = CO / (2 * sin 24°)
Заметим, что угол BAC равен 48°, так как это дано в условии. Таким образом, мы можем вычислить sin угла AOC:
sin угла AOC = CO / (2 * sin 24°) ≈ 0.766
Теперь мы можем вычислить угол AOC, используя обратную функцию синуса:
угол AOC ≈ 49.5°
Подставляя этот результат в формулу для угла АОВ, получаем:
угол АОВ = 2 * угол AOC + угол ABC — 180°
угол АОВ ≈ 2 * 49.5° + 86° — 180°
угол АОВ ≈ 56°
Таким образом, градусная мера угла АОВ равна примерно 56°.
