Вопрос школьника
В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=216, HC=54 и ∠ACB=40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами медианы и высоты в треугольнике.
1. Медиана BM делит сторону AC пополам, то есть AM = MC = 108.
2. Высота BH делит сторону AC на отрезки AH и HC, причем AH = BC * sin(∠BAC) и HC = BC * sin(∠HCB).
3. Из условия задачи известно, что HC = 54 и ∠ACB = 40°. Тогда sin(∠HCB) = sin(90° — ∠ACB) = cos(∠ACB) = cos(40°).
4. Найдем длину стороны BC. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABC:
BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 * AB * AC * cos(∠BAC)
Заметим, что ∠BAC = 180° — ∠ACB — ∠ABC = 180° — 40° — ∠ABC = 140° — ∠ABC. Тогда
BC^2 = AB^2 + 216^2 — 2 * AB * 216 * cos(140° — ∠ABC)
5. Найдем длину отрезка AH. Для этого воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABH:
AH / sin(∠ABH) = BH / sin(∠BAH)
Заметим, что ∠BAH = 90° — ∠ABC и ∠ABH = 180° — ∠BAH. Тогда
AH / sin(180° — ∠ABC) = BH / sin(90° — ∠ABC)
AH / sin(∠ABC) = BH / cos(∠ABC)
AH = BH * sin(∠ABC) / cos(∠ABC)
6. Теперь можем найти длину отрезка HC:
HC = BC * sin(∠HCB) = BC * cos(40°)
7. Из условия задачи известно, что BM является медианой, то есть BM = MC = 108. Тогда
AM^2 + BM^2 = AB^2 / 2
108^2 + BM^2 = AB^2 / 2
AB^2 = 2 * (108^2 + BM^2)
8. Найдем угол AMB. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике ABM:
BM^2 = AM^2 + AB^2 — 2 * AM * AB * cos(∠AMB)
BM^2 = 108^2 + 2 * (108^2 + BM^2) — 2 * 108 * AB * cos(∠AMB)
AB * cos(∠AMB) = 2 * BM^2 — 2 * 108^2 — 108^2 / 2
AB * cos(∠AMB) = 5 * BM^2 — 3 * 108^2
AB^2 * cos^2(∠AMB) = 25 * BM^4 — 30 * 108^2 * BM^2 + 9 * 108^4
Из пункта 7 известно, что AB^2 = 2 * (108^2 + BM^2). Подставим это выражение:
2 * (108^2 + BM^2) * cos^2(∠AMB) = 25 * BM^4 — 30 * 108^2 * BM^2 + 9 * 108^4
Разложим cos^2(∠AMB) по формуле cos^2(∠AMB) = 1 — sin^2(∠AMB):
2 * (108^2 + BM^2) * (1 — sin^2(∠AMB)) = 25 * BM^4 — 30 * 108^2 * BM^2 + 9 * 108^4
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:
25 * BM^4 — 60 * 108^2 * BM^2 + 7 * 108^4 — 2 * (108^2 + BM^2) + 2 * (108^2 + BM^2) * sin^2(∠AMB) = 0
25 * BM^4 — 60 * 108^2 * BM^2 + 7 * 108^4 — 2 * 108^2 — 2 * BM^2 + 2 * (108^2 + BM^2) * sin^2(∠AMB) = 0
25 * BM^4 — 62 * 108^2 * BM^2 + 5 * 108^4 + 2 * BM^2 * sin^2(∠AMB) = 0
Решим полученное квадратное уравнение относительно BM^2:
BM^2 = [62 * 108^2 ± sqrt((62 * 108^2)^2 — 4 * 25 * 5 * 108^4)] / (2 * 25)
BM^2 = [62 * 108^2 ± 2 * 108^2 * sqrt(62^2 — 5 * 25)] / 50
BM^2 = [62 * 108^2 ± 2 * 108^2 * sqrt(3729)] / 50
BM^2 ≈ 10416.8 или BM^2 ≈ 1055.2
Так как BM > AM, то выбираем большее значение: BM^2 ≈ 10416.8. Тогда
BM ≈ 102.05
9. Найдем sin(∠AMB) из уравнения, полученного в пункте 8:
2 * (108^2 + BM^2) * sin^2(∠AMB) = 25 * BM^4 — 60 * 108^2 * BM^2 + 7 * 108^4 — 2 * 108^2 — 2 * BM^2
sin^2(∠AMB) = [25 * BM^4 — 60 * 108^2 * BM^2 + 7 * 108^4 — 2 * 108^2 — 2 * BM^2] / [2 * (108^2 + BM^2)]
sin^2(∠AMB) ≈ 0.891
sin(∠AMB) ≈ 0.944
10. Наконец, найдем угол AMB:
sin(∠AMB) = 0.944
∠AMB ≈ 71.6°
Ответ: ∠AMB ≈ 71.6°.
