Вопрос школьника
В треугольнике ABC через вершину А проведена прямая l, касающаяся описанной около этого треугольника окружности. Найдите высоту треугольника ABC, проведённую к стороне ВС, если расстояния от В и С до l равны а и b.
Ответ от учителя
Пусть точка касания прямой l с описанной около треугольника окружностью находится на стороне BC и обозначается точкой D. Тогда, по свойству касательной, угол BAC равен углу BDC.
Также, по свойству описанной около треугольника окружности, угол BDC равен половине угла BAC, то есть углу BDC = углу BAC/2.
Из этих двух равенств следует, что угол BAC = 2 угла BDC.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По условию, BD = a и CD = b. Пусть высота треугольника ABC, проведенная к стороне BC, равна h.
Тогда, по теореме Пифагора, в треугольнике BDC:
BD^2 + h^2 = BC^2
CD^2 + h^2 = AC^2
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
CD^2 — BD^2 = AC^2 — BC^2
b^2 — a^2 = (AC + BC)(AC — BC)
Заметим, что AC + BC = AB, то есть сумма двух сторон треугольника ABC. Также, по формуле косинусов для треугольника ABC:
AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2AC*BC*cos(BAC)
Заменим AC^2 + BC^2 на AB^2 — 2AC*BC*cos(BAC) и подставим в предыдущее уравнение:
b^2 — a^2 = AB^2 — 2AC*BC*cos(BAC) — AB*BC
Выражая cos(BAC) и подставляя в первое уравнение, получаем:
h = (b^2 — a^2)/(2*AB)
Таким образом, высота треугольника ABC, проведенная к стороне BC, равна (b^2 — a^2)/(2*AB), где AB — сумма двух сторон треугольника ABC.
