Вопрос школьника
В треугольнике ABC дано: АВ = ВС = 13 см, AС = 10 см. Точка М удалена от прямых АВ, ВС и АС на 8⅔ см. Найдите расстояние от точки М до плоскости ABC, если ее проекция на эту плоскость лежит внутри треугольника
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и формулу для расстояния от точки до плоскости.
Сначала найдем длину стороны AC треугольника ABC, используя теорему Пифагора:
AC² = AB² + BC²
AC² = 13² + 13²
AC² = 338
AC = √338 ≈ 18,4 см
Теперь рассмотрим треугольник AMC. Пусть H — точка пересечения высоты из точки М с основанием AC. Тогда MH — высота треугольника AMC, а AH — катет прямоугольного треугольника AMH.
Используя теорему Пифагора для треугольника AMH, найдем длину AH:
AH² = AM² — MH²
AH² = (AC — 8⅔)² — MH²
AH² = (18,4 — 8⅔)² — MH²
AH² = 9,7² — MH²
AH ≈ 8,5 см
Теперь мы можем использовать формулу для расстояния от точки до плоскости:
d = |ax + by + cz + d| / √(a² + b² + c²)
где a, b, c — коэффициенты уравнения плоскости, проходящей через треугольник ABC, а x, y, z — координаты точки М.
Найдем коэффициенты уравнения плоскости. Для этого можно взять векторное произведение векторов AB и AC:
n = AB × AC
n = (13, 0, 0) × (0, 18, 0)
n = (0, 0, 13×18)
n = (0, 0, 234)
Тогда уравнение плоскости имеет вид:
0x + 0y + 234z + d = 0
Найдем значение d, подставив координаты любой точки на плоскости, например, точки A:
0×13 + 0×0 + 234×0 + d = 0
d = 0
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид:
234z = 0
Теперь можем найти расстояние от точки М до плоскости ABC:
d = |0×x + 0×y + 234×z + 0| / √(0² + 0² + 234²)
d = |234z| / 234
d = |234×(AH/AC)|
d ≈ 4,6 см
Ответ: расстояние от точки М до плоскости ABC равно примерно 4,6 см.
