Вопрос школьника
В треугольнике ABC градусные меры углов А и С равны соответственно α и γ, отрезок AD — биссектриса треугольника. Найдите отношение площадей треугольников ABD и ADC.
Ответ от учителя
Пусть $BD=x$ и $DC=y$. Тогда, по свойствам биссектрисы, $frac{AB}{BC}=frac{AD}{DC}=frac{BD+AD}{DC+AD}=frac{x+AD}{y+AD}$. Также, по теореме синусов, $frac{AB}{singamma}=frac{BC}{sinalpha}$, откуда $AB=frac{BCsingamma}{sinalpha+singamma}$ и $BC=frac{ABsinalpha}{sinalpha+singamma}$. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем $frac{x+AD}{y+AD}=frac{sinalpha}{singamma}$. Отсюда $x+AD=frac{sinalpha}{singamma}(y+AD)$, то есть $x=frac{sinalpha}{singamma-1}AD$ и $y=frac{singamma}{sinalpha-1}AD$. Теперь можем выразить площади треугольников $ABD$ и $ACD$ через $AD$ и получить их отношение: $frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=frac{frac{1}{2}ABcdot ADcdotsinangle BAD}{frac{1}{2}ACcdot ADcdotsinangle CAD}=frac{AB}{AC}cdotfrac{sinangle BAD}{sinangle CAD}=frac{singamma}{sinalpha}cdotfrac{x}{y}=frac{singamma}{sinalpha}cdotfrac{sinalpha-1}{singamma-1}$.
