Вопрос школьника
В треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведена высоту СН i биссектрису СМ. Длина отрезка НМ вдвое меньше длины отрезка СМ. Найдите острые углы треугольника ABC
Ответ от учителя
Пусть угол BAC равен α, угол ABC равен β, а угол ACB равен γ. Также обозначим длину отрезка СН через h, а длину отрезка СМ через m.
Так как высота СН является перпендикуляром к стороне AB, то треугольник СНА прямоугольный, и мы можем применить теорему Пифагора:
СА² = СН² + НА²
Так как угол BAC прямой, то НА = СВ, где В – середина стороны AB. Также, так как СМ является биссектрисой угла ACB, то угол СМА равен половине угла ACB, то есть углу γ/2. Из этого следует, что треугольник СМА также является прямоугольным, и мы можем применить теорему Пифагора:
СА² = СМ² + МА²
Соединив эти два уравнения, получим:
СН² + НА² = СМ² + МА²
СН² + СВ² = СМ² + (СА – СМ)²
СН² + СВ² = СМ² + СА² – 2САСМ + СМ²
2СМ² – 2САСМ = СН² + СВ² – СА²
2СМ(СМ – СА) = СН² + СВ² – СА²
Так как СВ = СА/2 (так как В – середина стороны AB), а СМ = СА/2tg(γ/2) (так как СМ является биссектрисой угла ACB), то:
2СМ(СМ – СА) = СН² + СА²/4 – СА²
2СА²/2tg(γ/2) = СН² – 3СА²/4
СА²/tg(γ/2) = 4СН²/3
Теперь мы можем выразить длину отрезка СМ через длину отрезка СН:
СМ = СА/2tg(γ/2) = (4СН²/3)/2tg(γ/2) = 2СН²/3tg(γ/2)
Также из условия задачи известно, что длина отрезка НМ вдвое меньше длины отрезка СМ:
НМ = СМ/2 = СН²/3tg(γ/2)
Теперь мы можем применить теорему синусов к треугольнику ABC:
СН/СА = sin(β)
СН/СМ = sin(γ)
Так как СМ = 2НМ, то sin(γ) = sin(2β). Подставляя выражения для СМ и НМ, получаем:
СН/(2СН/tg(γ/2)) = sin(2β)
tg(γ/2) = 2sin(2β)
Также известно, что длина отрезка СН равна h, а длина стороны AB равна СА. Применяя теорему Пифагора к треугольнику СНА, получаем:
СА² = h² + (2СН)²
СА² = h² + 4СН²
Теперь мы можем выразить sin(β) через h и СА:
sin(β) = СН/СА = h/√(СА² – 4СН²)
Подставляя это выражение в уравнение для tg(γ/2), получаем:
tg(γ/2) = 2sin(2β) = 4sin(β)cos(β) = 4h/√(СА² – 4СН²)(СА² + 4h²)
Теперь мы можем выразить sin(γ/2) через h и СА:
sin(γ/2) = tg(γ/2)/√(1 + tg²(γ/2)) = 4h/√(СА² – 4СН²)(СА² + 4h² + 16h²/СА²)
Таким образом, мы получили выражения для sin(β) и sin(γ/2) через h и СА. Острые углы треугольника ABC равны α = 90°, β = arcsin(h/√(СА² – 4СН²)) и γ = 2arcsin(4h/√(СА² – 4СН²)(СА² + 4h² + 16h²/СА²)).
