Вопрос школьника
В треугольнике ABC из вершины С проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов. Биссектриса внутреннего угла образует со стороной АВ угол, градусная мера которого равна 124°. Вычислите градусную меру угла между биссектрисой внешнего угла и прямой АВ.
Ответ от учителя
Пусть биссектриса внутреннего угла треугольника ABC пересекает сторону AB в точке D, а биссектриса внешнего угла пересекает продолжение стороны AC в точке E (см. рисунок).
Так как биссектриса внутреннего угла делит угол C на две равные части, то угол BCD равен 62° (половина угла C). Также из свойств биссектрисы следует, что отрезок BD делит сторону AC в отношении длин AB:BC.
Аналогично, биссектриса внешнего угла делит угол C на две части, из которых одна больше другой на 180°. Таким образом, угол BCE равен 180° — (C/2) = 58°.
Теперь рассмотрим треугольник BDE. Он является равнобедренным, так как BD и BE являются биссектрисами углов B и E соответственно. Значит, угол BDE равен углу BED, который равен половине угла CBE (из свойств биссектрисы). Таким образом, угол BDE равен (180° — CBE)/2 = (180° — 58°)/2 = 61°.
Наконец, искомый угол между биссектрисой внешнего угла и прямой AB равен сумме углов BCD и BDE: 62° + 61° = 123°. Ответ: 123°.
