Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — В треугольнике ABC известно, что ∟C> 90 °. На стороне ВС обозначили произвольную точку D. Докажите, что AD> АС
Ответ от учителя
Для доказательства неравенства AD > AC в треугольнике ABC с углом C > 90° можно воспользоваться теоремой косинусов.
Согласно этой теореме, для любого треугольника ABC с сторонами a, b, c и углом между сторонами a и b равным ∟C, справедлива формула:
c² = a² + b² — 2ab cos ∟C
Применяя эту формулу к треугольнику ABC, получим:
AC² = AB² + BC² — 2AB·BC cos ∟C
AD² = AB² + BD² — 2AB·BD cos ∟BAD
Заметим, что ∟BAD > ∟C, так как точка D лежит на стороне BC, а угол между сторонами BC и BA (то есть ∟BAD) больше угла между сторонами AC и AB (то есть ∟C). Следовательно, cos ∟BAD < cos ∟C. Подставляя эти выражения в неравенство AD > AC, получим:
AB² + BD² — 2AB·BD cos ∟BAD > AB² + BC² — 2AB·BC cos ∟C
BD² — 2AB·BD cos ∟BAD > BC² — 2AB·BC cos ∟C
BD² — 2AB·BD cos ∟BAD + AB² > BC² — 2AB·BC cos ∟C + AB²
(AB — BD cos ∟BAD)² > (AB — BC cos ∟C)²
AB² — 2AB·BD cos ∟BAD + BD² cos² ∟BAD > AB² — 2AB·BC cos ∟C + BC² cos² ∟C
BD² cos² ∟BAD — 2AB·BD cos ∟BAD > BC² cos² ∟C — 2AB·BC cos ∟C
BD² (cos² ∟BAD — 1) > BC² (cos² ∟C — 1)
BD² sin² ∟BAD > BC² sin² ∟C
Так как ∟C > 90°, то sin ∟C > 0. А так как точка D лежит на стороне BC, то ∟BAD < 90°, и sin ∟BAD > 0. Следовательно, последнее неравенство выполнено, и мы доказали, что AD > AC.
