Вопрос школьника
В треугольнике ABC известно, что ∠А = 44°, ∠В = 56°. Биссектрисы АК и ВМ треугольника пересекаются в точке О. Найдите углы четырёхугольника: 1) МОКС; 2) АОВС.
Ответ от учителя
1) Угол МОК равен половине суммы углов ВМК и АКМ. Угол ВМК равен 180° — угол В — угол МВК, где угол МВК равен 90° (так как МВ — биссектриса угла В). Значит, угол ВМК равен 34°. Аналогично, угол АКМ равен 23°. Тогда угол МОК равен (34°+23°)/2 = 28.5°. Угол КОС равен 180° — угол КОМ — угол МОС. Угол КОМ равен 180° — угол АКМ — угол ВМК, то есть 123°. Угол МОС равен половине угла АМВ, который равен 180° — угол А — угол В = 80°. Тогда угол КОС равен 180° — 123° — 40° = 17°. Итак, углы четырёхугольника МОКС равны: МОК = 28.5°, ОКС = 140°, КОС = 17°, МОС = 40°.
2) Угол АОВ равен половине суммы углов АОК и ВОМ. Угол АОК равен 180° — угол А — угол КАО, где угол КАО равен половине угла АКО, который равен половине угла А + угла В = 50°. Значит, угол АОК равен 86°. Аналогично, угол ВОМ равен 67°. Тогда угол АОВ равен (86°+67°)/2 = 76.5°. Угол СОВ равен 180° — угол АОВ — угол АОС. Угол АОС равен половине угла АКС, который равен половине угла А + угла В — угла КОС = 50°. Тогда угол СОВ равен 180° — 76.5° — 50° = 53.5°. Итак, углы четырёхугольника АОВС равны: АОВ = 76.5°, ОВС = 56°, ВСО = 180° — угол В — угол КВО = 68°, СОА = 44°.
