Вопрос школьника
В треугольнике ABC известно, что АС = а, АВ — ВС = b, AM и СК — биссектрисы треугольника. Найдите отрезок МК.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой биссектрисы. Она гласит, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. То есть, в нашем случае:
$$frac{AM}{MC}=frac{AB}{BC}$$
$$frac{CK}{KB}=frac{AC}{AB}$$
Заметим, что $AB=AM+MB$ и $AC=AM+MC$. Подставим это в формулы выше:
$$frac{AM}{MC}=frac{AM+MB}{BC}$$
$$frac{CK}{KB}=frac{AM+MC}{AM+MB}$$
Решим первое уравнение относительно $MB$:
$$frac{AM}{MC}=frac{AM+MB}{BC}$$
$$AMcdot BC=MCcdot AM+MBcdot AM$$
$$MBcdot AM=AMcdot BC-MCcdot AM$$
$$MB=frac{AMcdot BC-MCcdot AM}{AM}$$
Аналогично решим второе уравнение относительно $MB$:
$$frac{CK}{KB}=frac{AM+MC}{AM+MB}$$
$$CKcdot AM+CKcdot MB=KBcdot AM+KBcdot MC$$
$$CKcdot MB=KBcdot MC-CKcdot AM+KBcdot AM-CKcdot AM$$
$$MB=frac{KBcdot MC-CKcdot AM}{CK-KB}$$
Теперь приравняем найденные значения $MB$:
$$frac{AMcdot BC-MCcdot AM}{AM}=frac{KBcdot MC-CKcdot AM}{CK-KB}$$
$$AMcdot BCcdot (CK-KB)=MCcdot AMcdot (CK-KB)+KBcdot MCcdot AM-CKcdot AMcdot BC$$
$$AMcdot BCcdot CK-AMcdot BCcdot KB=AMcdot MCcdot CK-AMcdot MCcdot KB+KBcdot MCcdot AM-CKcdot AMcdot BC$$
$$AMcdot BCcdot CK-AMcdot MCcdot CK=KBcdot MCcdot AM-CKcdot AMcdot BC+AMcdot BCcdot KB-AMcdot MCcdot KB$$
$$AMcdot (BCcdot CK-MCcdot CK-KBcdot MC+KBcdot BC-KBcdot MC+MCcdot KB)=0$$
Заметим, что $BC=CK+KB$, поэтому:
$$AMcdot (CK^2-KB^2+CKcdot KB)=0$$
Так как $AM$ не может быть равно нулю, то:
$$CK^2-KB^2+CKcdot KB=0$$
$$(CK-KB)cdot (CK+KB)+CKcdot KB=0$$
$$(CK-KB)cdot (CK+KB)=-CKcdot KB$$
$$CK-KB=frac{-CKcdot KB}{CK+KB}$$
$$CK-KB=frac{-CKcdot KB}{BC}$$
Теперь найдем отрезок $MK$:
$$MK=MB+CK= frac{AMcdot BC-MCcdot AM}{AM}+frac{-CKcdot KB}{BC}$$
$$MK=frac{AMcdot BC-MCcdot AM-CKcdot KB}{AM}$$
Подставим известные значения:
$$MK=frac{acdot (a+b)-frac{acdot b^2}{a+b}}{a}$$
$$MK=frac{a^2+ab-b^2}{a+b}$$
Ответ: $MK=frac{a^2+ab-b^2}{a+b}$.
