Вопрос школьника
В треугольнике ABC известно, что АВ — 8 см, ВС = 12 см, АС — 16 см. На стороне АС отметили точку D так, что CD = 9 см. Найдите отрезок BD.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов.
Согласно этой теореме, для любого треугольника с известными длинами сторон a, b и c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо следующее равенство:
a^2 = b^2 + c^2 — 2bc cos α
Применим эту формулу к треугольнику ABC. Пусть отрезок BD имеет длину x. Тогда:
AB^2 = BC^2 + AC^2 — 2BC·AC cos ∠BAC
8^2 = 12^2 + 16^2 — 2·12·16 cos ∠BAC
64 = 144 + 256 — 384 cos ∠BAC
384 cos ∠BAC = 336
cos ∠BAC = 336/384 = 0.875
Теперь рассмотрим треугольник BCD. Применим к нему теорему косинусов для нахождения длины отрезка BD:
BD^2 = BC^2 + CD^2 — 2BC·CD cos ∠BCD
BD^2 = 12^2 + 9^2 — 2·12·9 cos ∠BCD
BD^2 = 144 + 81 — 216 cos ∠BCD
BD^2 = 225 — 216 cos ∠BCD
cos ∠BCD = cos (∠BAC — ∠BAD) = cos ∠BAC cos ∠BAD + sin ∠BAC sin ∠BAD
cos ∠BAD = (cos ∠BCD — cos ∠BAC·cos ∠BAD) / sin ∠BAC
cos ∠BAD = (cos ∠BCD — cos ∠BAC·cos ∠BAD) / sin ∠BAC
cos ∠BAD sin ∠BAC = cos ∠BCD — cos ∠BAC·cos ∠BAD
cos ∠BAD sin ∠BAC + cos ∠BAC·cos ∠BAD = cos ∠BCD
cos ∠BAD (sin ∠BAC + cos ∠BAC) = cos ∠BCD
cos ∠BAD = cos ∠BCD / (sin ∠BAC + cos ∠BAC)
cos ∠BAD = cos ∠BCD / (√(1 — cos^2 ∠BAC) + cos ∠BAC)
cos ∠BAD = 0.6 / (√(1 — 0.875^2) + 0.875)
cos ∠BAD ≈ 0.4
Таким образом, мы нашли косинус угла ∠BAD. Осталось применить теорему косинусов для треугольника ABD:
AD^2 = AB^2 + BD^2 — 2AB·BD cos ∠BAD
16^2 = 8^2 + x^2 — 2·8·x cos ∠BAD
256 = 64 + x^2 — 16x cos ∠BAD
x^2 — 16x cos ∠BAD + 192 = 0
x = 8 cos ∠BAD ± √(64 cos^2 ∠BAD — 192)
x = 8 cos ∠BAD ± 4√(4 cos^2 ∠BAD — 12)
x = 8 cos ∠BAD ± 4√(4(1 — sin^2 ∠BAD) — 12)
x = 8 cos ∠BAD ± 4√(16 — 16 sin^2 ∠BAD)
x = 8 cos ∠BAD ± 16√(1 — sin^2 ∠BAD)
x = 8 cos ∠BAD ± 16√(cos^2 ∠BAD)
x = 8 cos ∠BAD ± 16 cos ∠BAD
x = 24 cos ∠BAD ≈ 19.2 см
Таким образом, длина отрезка BD равна примерно 19.2 см.
