Вопрос школьника
В треугольнике ABC известно, что АВ _I_ ВС, BD и СК — высоты треугольника, cos А = 3/7 . Найдите отношение СК : BD.
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения высот треугольника ABC обозначена буквой H. Тогда, так как BD и СК являются высотами, то треугольники ABD и AСK подобны треугольнику ABC в соотношении 1:2 (по теореме о высоте и основании). Также из подобия треугольников ABD и AСK следует, что отношение СК : BD равно отношению соответствующих сторон треугольников ABD и AСK.
Пусть AB = c, BC = a, AC = b. Тогда, так как АВ _I_ ВС, то AB = BC = c. По теореме косинусов в треугольнике ABC:
cos A = (b^2 + c^2 — a^2) / (2bc) = 3/7
Отсюда получаем:
b^2 + c^2 — a^2 = (6/7)bc
Также, так как BD и СК являются высотами, то
BD = c cos B
CK = c cos C
Используя теорему косинусов в треугольнике ABD и AСK, получаем:
cos B = (b^2 + c^2 — a^2) / (2bc) = (6/7)
cos C = (a^2 + c^2 — b^2) / (2ac) = (4/7)
Тогда
BD = c cos B = (6/7)c
CK = c cos C = (4/7)c
Отношение СК : BD равно:
CK : BD = (4/7)c / (6/7)c = 4/6 = 2/3
Ответ: СК : BD = 2 : 3.
