Вопрос школьника
В треугольнике ABC известно, что АВ = ВС, AM i CK — медианы этого треугольника. Докажите, что МК ‖ АС
Ответ от учителя
Для доказательства того, что МК ‖ АС, нужно воспользоваться свойствами медиан треугольника.
Медиана AM делит сторону BC пополам, то есть BM = MC. Также, по условию, АВ = ВС. Значит, треугольник АBM равнобедренный, и угол АBM равен углу АСВ.
Аналогично, медиана CK делит сторону AB пополам, то есть AK = KB. Также, треугольник АСК равнобедренный, и угол АСК равен углу АВК.
Таким образом, углы АBM и АВК равны, а углы АСК и АСВ равны. Значит, углы АВК и АСВ также равны.
Теперь рассмотрим треугольник МКС. Угол МКС равен углу АСВ, так как это вертикальные углы. Угол МСК равен углу АВК, так как это также вертикальные углы. Значит, углы МКС и МСК равны.
Таким образом, мы получили, что углы МКС и МСК равны, а углы АВК и АСВ равны. Значит, треугольники МКС и АВК подобны по двум углам. А это означает, что МК ‖ АС (по свойству подобных треугольников).
Таким образом, мы доказали, что МК ‖ АС, используя свойства медиан треугольника и свойства подобных треугольников.
