Вопрос школьника
В треугольнике ABC известно, что АВ = ВС, BD и AM — высоты треугольника, BD : AM = 3:1. Найдите cos С.
Ответ от учителя
Пусть точка D лежит на стороне AC, а точка M — на стороне BC. Так как АВ = ВС, то треугольник ABC равнобедренный, а значит, угол А равен углу С. Обозначим этот угол через α.
Так как BD и AM — высоты треугольника, то они перпендикулярны соответственно сторонам AC и BC. Обозначим угол между BD и AC через β, а угол между AM и BC через γ.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол β равен углу γ. Обозначим этот угол через δ.
Так как BD : AM = 3:1, то BD = 3AM.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Так как BD = 3AM, то угол β больше угла γ в 3 раза. Значит, угол β равен 3δ, а угол γ равен δ.
Так как угол А равен углу С, то угол С равен α.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCM. Так как угол γ равен δ, то cos γ = sin α.
Так как угол β равен 3δ, то sin β = cos 3δ = 4cos^3 δ — 3cos δ.
Так как угол А равен углу С, то sin α = sin С.
Таким образом, получаем уравнение:
sin С = 4cos^3 δ — 3cos δ.
Осталось выразить cos С через cos δ. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC:
AB^2 = AC^2 = 2BC^2 — 2BC^2 cos α.
Так как АВ = ВС, то AB = BC.
Подставляем известные значения и получаем:
BC^2 = 2BC^2 — 2BC^2 cos α.
Отсюда следует, что cos α = 1/2.
Таким образом, получаем уравнение:
sin С = 4cos^3 δ — 3cos δ,
cos α = 1/2.
Решая это уравнение, получаем:
cos С = cos α = 1/2.
